\(Fourier\ 級数\)

\(Fourier\ 係数\)

\(f : R\  -> \ \ R, \ 
          2  L\ 周期関数に対して\)

          (Subscript[a, n = 
                (1/L)]) (∫_(-L)^L) f (x) 
              Cos[nπ(x/L)] \[DifferentialD]x
          (Subscript[b, n = (1/L)]) (∫_(-L)^L) 
              f (x) Sin[nπ(x/L)] \[DifferentialD]x

         (n = 1, 2, 3,  ... )

\(をその\ Fourier\ \(\(係数という\)\(.\)\)\)

\(Fourier\ 級数\)

f : R  ->  R, \(2  L周期関数に対して\),(Subscript[a, n]),\(b\_n\ を\)
\(Fourier\\ 係数としたとき\)

          S[f] (x) = 
        ((Subscript[a, 0])/2) + (∑_(n = 1)^∞) 
                  (Subscript[a, n]) (Cos[nπ(x/L)] + (Subscript[b, n]) 
                    in[nπ(x/L)])

Example 4.1

\(f \((x)\) = 

0\ \ if\  - 5\leq\ x < 0

        3\ \ if\ \ 0\leq\ x < 5\)

Fourier係数

n ≠ 0
(Subscript[a, n])  = 
          (1/5) (∫_(-5)^5) f (x) 
                cos (n(π/5)) \[DifferentialD]x

      =(3/5) (∫_0^5) 
                cos (n(π/5)) \[DifferentialD]x

    = (3/5) (5/n)π[sin (n(π/5))]  = 
            0


n ≠ 0
(Subscript[a, 0])  = 
          (1/5) (∫_(-5)^5) f (x) \[DifferentialD]x

      =(3/5) (∫_0^5) 
                  1 \[DifferentialD]x = 3


(Subscript[b, n]) == 
          (1/5) (∫_(-5)^5) f (x) 
                sin (n(π/5)) \[DifferentialD]x

      =(3/5) (∫_0^5) 
                sin (n(π/5)) \[DifferentialD]x

    = (3/5) (5/n)π[-cos (n(π/5))] 

    =(3/n)π (-cos (nπ) + 
                  1) = (3/n)π (-(((-1))^n) + 1)

Fourier級数

\(\(
\)\(\ \ \ \ \ \ \ \)\(3\/2 + \(\(\\)\(∑\+\(n = 1\)\%∞\( 3\/nπ\) \((1 - cos \((nπ)\))\) 
              sin \((nπx\/5)\)\)\)


      \ \(\(=\)\(\ \ \)\(3\/2 + \ \(6\/π\) \((sin \((πx\/5)\) + \(1\/3\) sin \((\(3  πx\)\/5)\) + \ \(1\/5\) 
                    sin \((\(5  πx\)\/5)\) +  ... )\)\)\)\)\)

Problem 4.2

\(\(
\)\(次の関数の\ Fourier係数とFourier級数を求めなさい . 
\ \ 

f \((x)\) = 

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8\ \ \ \ if\ \ \ 0 ≤ 
          x < 2

      \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(-8\)\ \ \ \ if\ \ 2 ≤ x < 4\)\)

いろいろな例

◆   f(x) が偶関数,奇関数のとき,係数はどうなっているか？

◆     f(x)  と S[f](x)\(の関係が問題である . \ 一致するか？\)

Examples

\(例１\)

f1[x_] := Which[-5 <= x < 0, 0, 0 <= x < 5, 3]

Plot[f1[x], {x, -5, 5}]

S1[n_, x_] := 
      (3/2) + (6/Pi) (∑_(i = 0)^n) (1/(2  i + 1)) 
              Sin[(((2  i + 1) x)/5)]

Plot[S1[10, x], {x, -5, 5}]

Plot[S1[100, x], {x, -5, 5}]

Plot[S1[200, x], {x, -5, 5}]

\(例２\)

F2[x_] := (x^2)

Plot[F2[x], {x, -Pi, Pi}]

S2[n_, 
        x_] := ((π^2)/3) + (∑_(i = 1)^n)(((-1))^i) (4/(i^2)) Cos[i x]

Plot[S2[10, x], {x, -10, 10}]

\(例３\)

F3[x_] := (x^2)

Plot[F3[x], {x, 0, 2  π}]

S3[n_, x_] := ((4  (π^2))/3) + 
        4 (∑_(i = 1)^n) Cos[i x]/(i^2) - 
        4  π (∑_(i = 1)^n) Sin[i x]/i

Plot[S3[10, x], {x, -1, 7}]

Plot[S3[100, x], {x, -1, 7}]

\(例４\)

F4[x_] := Abs[x]

Plot[F4[x], {x, -π, π}]

S4[n_, 
        x_] := (π/2) + (2/π) (∑_(i = 1)^n)(((((-1))^i) - 1)/(i^2)) Cos[i x]

Plot[S4[10, x], {x, -4, 4}]

Plot[S4[100, x], {x, -4, 4}]

\(例５\)

F5[x_] := 
      Which[-π <= x < -(π/2), -1, -(π/2) <= 
          x < (π/2), 0, (π/2) <= x < π, 1]

Plot[F5[x], {x, -π, π}]

S5[n_, 
        x_] := (4/π) (∑_(i = 1)^n) Cos[
                  2  i - 1]/((2  i - 1)) 
            Sin[(2  i - 1) x]

Plot[S5[10, x], {x, -4, 4}, PlotRange -> All]

Plot[S5[100, x], {x, -4, 4}, PlotRange -> All]

\(Fourier\ 級数の各点収束\)

\(部分和\)

\(\(以下, 
      f \((x)\)\ を周期\ 2  π\ の周期関数とし, 可積分条件\)\(
\)\)
\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(∫\_0\%\(2  π\)\(\(|\)\(f \((x)\)\)\(|\)\(\[DifferentialD]x < ∞\)\)\)\(
\)\)
\(\(を満たすとする . \ 
          f \((x)\) の\ 複素\ Fourier級数を\)\(
\)\)
\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(S[
            f] \((x)\) = ∑\+\(k = \(-∞\)\)\%∞\( 
                f\&^\) \((k)\) e\^ikx\)\(
\)\)
\(\(とし, その部分和を\)\(
\)\)
\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(S\_n[
            f] \((x)\) = ∑\+\(k = \(-n\)\)\%n\( f\&^\) \((k)\) 
            e\^ikx\)\(
\)\)
\(\(とする\)\(.\)\)

\(Dirichlet核\)

\(\(ここで\ Dirichlet\ 核を\)\(
\)\)
          (Subscript[D, n]) (x) = (1/(2  π)) (∑_(k = -n)^n) (e^ikx)
\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(\(=\)\(\(1\/\(2  π\)\) \(sin \((\((n + 1\/2)\) x)\)\)\/\(sin \((x\/2)\)\)\)\)\(
\)\)
\(\(と定義すれば, 


\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ∫\_0\%\(2  π\)\(D\_n\) \((x)\) \[DifferentialD]x = 
        1\)\(
\)\(
\)\)
\(\(であり\)\(
\)\)
\(\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \)\(π \((u, 
            x)\) = \(1\/2\) \((f \((x + u)\) + f \((x - u)\))\)\)\(
\)\)
とすると

          (Subscript[S, n])[f] (x) = 
        2 (∫_0^π) π (u, 
                x) (Subscript[D, n]) (u) \[DifferentialD]u

\(が成り立つ . \ \ この積分を\ Dirichlet\ \(\(積分とよぶ\)\(.\)\)\)

各点収束

\(\(定理\ \ \ Fourier\ 級数が１点\ x\ で\ c\ に収束する必要十分条件は\)\(
\)\)
          φ(u, x)=(1/2)(f (x + u) + f (x - u) - 2  c)

\(\(としたとき\)\(
\)\)
          (∫_0^π) φ (u, 
              x) (Subscript[D, n]) (u) \[DifferentialD]u  ->  0   if  n -> ∞

\(となることである . 


\ 定理\)\(（Dirichlet\  - \ Jordan）\)f(x)が有界変動であれば
\(Fourier\ 級数は各点で \( 
            1\/2\) \((f \((x + 0)\) + f \((x - 0)\))\)\)
\(\(に収束する . \ すなわち\)\(
\)\)
          (lim_(n -> ∞))(Subscript[S, n])[f] (x) = (1/2) (f (x + 0) + f (x - 0))


\(注意\ \ \ 全ての有理点で\ Fourier級数が発散する連続関数が存在する . 

注意\ \ \ 全ての点で\ Fourier\ \(\(級数が発散する可積分関数が存在する\)\(.\)\)\)

\(いろいろな例\)

\(例１\)

f[x_] := Which[-5 <= x < 0, 0, 0 <= x < 5, 3];
S[n_, x_] := 
        (3/2) + (6/Pi) (∑_(i = 0)^n) (1/(2  i + 1)) 
                Sin[(((2  i + 1) x)/5)];
a = 
        Plot[f[x], {x, -5, 5}, 
          DisplayFunction -> Identity];
b = 
        Plot[S[10, x], {x, -5, 5}, 
          DisplayFunction -> Identity];
c = 
        Plot[S[100, x], {x, -5, 5}, 
          DisplayFunction -> Identity];
Show[GraphicsArray[{a}]]
Show[GraphicsArray[{b, c}]]

\(例２\)

f[x_] := (x^2);
S[n_, 
          x_] := ((π^2)/3) + (∑_(i = 1)^n)(((-1))^i) (4/(i^2)) Cos[i x];
L = π;
a = 
        Plot[f[x], {x, -L, L}, 
          DisplayFunction -> Identity];
b = 
        Plot[S[10, x], {x, -2 L, 2  L}, 
          DisplayFunction -> Identity];
c = 
        Plot[S[100, x], {x, -2 L, 2  L}, 
          DisplayFunction -> Identity];
Show[GraphicsArray[{a}]]
Show[GraphicsArray[{b, c}]]

\(例３\)

f[x_] := (x^2);
S[n_, x_] := ((4  (π^2))/3) + 
          4 (∑_(i = 1)^n) Cos[i x]/(i^2) - 
          4  π (∑_(i = 1)^n) Sin[i x]/i;
L = π;
a = 
        Plot[f[x], {x, 0, L}, DisplayFunction -> Identity];
b = 
        Plot[S[10, x], {x, -2 L, 2  L}, 
          DisplayFunction -> Identity];
c = 
        Plot[S[100, x], {x, -2 L, 2  L}, 
          DisplayFunction -> Identity, 
          PlotRange -> All];
Show[GraphicsArray[{a}]]
Show[GraphicsArray[{b, c}]]

\(例４\)

f[x_] := 
        Which[-π <= x < -(π/2), -1, -(π/2) <= 
            x < (π/2), 0, (π/2) <= x < π, 1];
S[n_, 
          x_] := (4/π) (∑_(i = 1)^n) Cos[
                    2  i - 1]/((2  i - 1)) 
              Sin[(2  i - 1) x];
L = π;
a = 
        Plot[f[x], {x, 0, L}, DisplayFunction -> Identity];
b = 
        Plot[S[10, x], {x, -2 L, 2  L}, 
          DisplayFunction -> Identity];
c = 
        Plot[S[100, x], {x, -2 L, 2  L}, 
          DisplayFunction -> Identity, 
          PlotRange -> All];
Show[GraphicsArray[{a}]]
Show[GraphicsArray[{b, c}]]

\(Fourier\ 級数の一様収束\)

定理\(（Dini\  - \ Lipschitz）\)ω(f, t)をf(x)の連続率としたとき

          (∫_0^δ)(( ω (f, 
                      t))/t) \[DifferentialD]t<∞

\(であれば, 
          Fourier\ 級数は\ f\ に一様収束する . \ すなわち\)

          \(\(|\)\(f - S\_n[f]\)\( | \_∞\)\) -> 0   if  n -> ∞


注意

\(jump\ をもつ区分的に連続な関数の連続率はどうなっているか？\)
また定理の仮定は満たされるか？

\(Gibbs\ 現象\)

\(f : \([0, 2  L]\)\  -> \ 
            R\ で有界変動, 0 ≤ x < c, 
          c < x ≤ 2  L\)
 \(で連続, 
          f \((c + 0)\) - f \((c - 0)\) > 
            0\ とする . \ このとき\)

 \(\(\(|\)\(f - 
                S\_n[f]\)\( | \_∞\)\)\  -> \((∫\_0\%π\(\( sin\ x\)\/πx\) \[DifferentialD]x - 1\/2)\) \((f \((c + 0)\) - 
                  f \((c - 0)\))\)\)   

 if n -> ∞


注意 

          (∫_0^π)(( 
                      sin x)/π)x \[DifferentialD]x-(1/2)dx = 0.08949  ...

\(いろいろな例\)

\(例１\)

\(例２\)

\(例３\)