集合基本演算の練習
都合上，ここでは次の演算記号を使う．
| 数学記号 | このページでの記号 | 呼称 |
| $\{x, y, z, \ldots\}$ |
[x,y,z,...] |
集合 |
| $\emptyset$ |
emptyset, [] | 空集合 |
| $X\cup Y$ | X+Y | 和集合 |
| $X\cap Y$ | X & Y | 共通部分集合 |
| $X\setminus Y$ | X \ Y | 差集合 |
| $(a,b)$ | (a,b) | 順序対 |
| $X\times Y$ | X*Y | 直積 |
| $\mathrm{pow}(X)$ | pow(X) | べき集合 |
集合式とその値
演習
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ふたつの集合{a,b,c}と{1,2}の直積は？ つまり{a,b,c}×{1,2}は ?
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{1,2}と{a,b,c}の直積は？ つまり{1,2}×{a,b,c}は ?
- 空集合[] のべき集合 pow([]) は？
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みっつの要素 a,b,c からなる集合のべき集合は？
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空集合のべき集合のべき集合のべき集合は？ つまり，
pow(pow(pow([])))は？
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ふたつの集合{a,b,c}と{1,2}の間の関係のすべてを列挙してみよう．
つまり，直積{a,b,c}×{1,2}のべき集合 pow([a,b,c]*[1,2]) を計算
する．実際に手計算で列挙するのは大変．
でもコンピュータならこういう単純作業は得意．
- 関数は関係であるか？
- 関係は関数であるか？
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集合族は基本的であり重要である．集合族とは集合を値とする関数のことである．
たとえば，
$n$を自然数として，$n$で割り切れる自然数全体を$N_n$とおく．
$n$に$"N_n"$対応させる関数$M$は集合族である．$M$の定義域
$\mbox{dom}(M)$
を$M$の添字集合という．
$M(i)$を$M_i$と書く．
$M$の定義域が$I$のとき，
$M$の直積とは，定義域が$I$でかつ条件$f(i)\in M_i$を
満たす関数$f$の全体である. （ここで関数を順序対の集合とみなしている．
つまり値域の違いは無視している: 関数を関数のグラフそのものとみなす.)
さて，集合族$M$直積は記号でどう書いたか？
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すべての$i\in I$について$A=M_i$のとき，
集合族$M$の直積は記号でどう書いたか?